Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=0和x=2时，y的值相等．直线y=3x﹣7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q．若点P在线段BM上运动（点P不与点B、M重合），设OQ的长为t，四边形PQAC的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；

（3）在线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3．（2）S四边形PQAC=﹣t2+t+（1＜t＜3）．（3）N1（，﹣），N2（1+，﹣4），N3（2，﹣2）．

【解析】

（1）当x=0和x=2时，y的值相等，可知抛物线的对称轴为x=1，将x=1代入直线的解析式中即可求出抛物线顶点的坐标，根据直线的解析式还可求出另一交点的坐标，可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式，然后将另一交点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．

（2）由于四边形QACP不是规则的四边形，因此可将其分成直角三角形AOC和直角梯形QOCP两部分进行计算．先求出直线BM的解析式，然后将x=t代入直线BM的解析式中即可求出QP的长，然后根据梯形的面积计算公式即可求出梯形QOCP的面积．然后根据四边形QACP的面积计算方法即可得出S，t的函数关系式．

（3）可分三种情况进行讨论：

①NM=MC；②NM=NC；③MC=NC．可根据直线BM的解析式设出N点的坐标，然后用坐标系中两点间的距离公式表示出各线段的长，根据上面不同的等量关系式可得出不同的方程，经过解方程即可得出N点的坐标．

（1）由题意可知：抛物线的对称轴为x=1．

当x=1时，y=3x﹣7=﹣4，因此抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣4）．

当x=4时，y=3x﹣7=5，因此直线y=3x﹣7与抛物线的另一交点为（4，5）．

设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，则有：a（4﹣1）2﹣4=5，解得：a=1，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．

（2）根据（1）的抛物线可知：A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）；

易知直线BM的解析式为y=2x﹣6；

当x=t时，y=2t﹣6；

因此PQ=6﹣2t；

∴S四边形PQAC=S梯形QPCO+S△AOC=×（3+6﹣2t）×t+×3×1

即：S四边形PQAC=﹣t2+t+（1＜t＜3）．

（3）假设存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形．

∵点N在BM上，不妨设N点坐标为（m，2m﹣6），则CM2=12+12=2，CN2=m2+[（6﹣2m）﹣3]2，MN2=（m﹣1）2+[4﹣（6﹣2m）]2．

△NMC为等腰三角形，有以下三种可能：

①若CN=CM，则m2+[（6﹣2m）﹣3]2=2，∴m1=，m2=1（舍去），∴N（，﹣）．

②若MC=MN，则（m﹣1）2+[4﹣（6﹣2m）]2=12+12，∴m=1±．

∵1＜m＜3，∴m=1﹣舍去，∴N（1+﹣4）．

③若NC=NM，则m2+[3﹣（6﹣2m）]2=（m﹣1）2+[4﹣（6﹣2m）]2．

解得：m=2，∴N（2，﹣2）．

故假设成立．

综上所述：存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形．且点N的坐标分别为：

N1（，﹣），N2（1+﹣4），N3（2，﹣2）．