Question

【题目】如图1，点M为直线AB上一动点，△PAB，△PMN都是等边三角形，连接BN，

(1)M点如图1的位置时，如果AM=5,求BN的长；

(2)M点在如图2位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系__________________；

(3)M点在如图3位置时，当BM=AB时，证明：MN⊥AB．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）AB+BM=BN；（3）详见解析

【解析】

（1）根据等边三角形的性质可得：∠APB=∠MPN，PA=PB，PM=PN，然后即可利用SAS证明△PAM≌△PBN，再利用全等三角形的性质即得结论；

（2）仿（1）的方法利用SAS证明△PAM≌△PBN，可得AM=BN，进一步即得结论；

（3）根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠BPM=∠PMB =30°，易知∠PMN=60°，问题即得解决．

解：（1）如图1，∵△PAB，△PMN都是等边三角形，

∴∠APB=∠MPN=60°，PA=PB，PM=PN，

∴∠APM=∠BPN，

∴△PAM≌△PBN(SAS) ，

∴AM=BN=5，∴BN的长为5；

（2） AB+BM=BN；

理由：如图2，∵△PAB，△PMN都是等边三角形，

∴∠APB=∠MPN=60°，PA=PB，PM=PN，

∴∠APM=∠BPN，

∴△PAM≌△PBN(SAS) ，

∴AM=BN，即AB+BM=BN；

故答案为：AB+BM=BN；

（3）证明：如图3，∵△PAB是等边三角形，∴AB=PB，∠ABP=60°，

∵BM=AB，∴PB=BM，∴∠BPM=∠PMB，

∵∠ABP=60°，∴∠BPM=∠PMB =30°，

∵△PMN是等边三角形，∴∠PMN=60°，

∴∠AMN=90°，即MN⊥AB．