Question

16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC．
（1）求证：AD=BD=BC；
（2）作∠C的平分线CE交AB于点E，连接ED，求证：DE∥BC．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABD的度数，然后得到∠A=∠ABD，再根据等角对等边的性质解答即可．
（2）由（1）同理可证AE=CE=BC，即可证得AE=AD，从而求得∠AED=∠ADE=72°，得出∠ADE=∠C，从而证得DE∥BC．

解答 （1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×72°=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠BDC=72°，AD=BD，
∴∠C=∠BDC=72°，
∴BC=BD，
∴AD=BD=BC；
（2）证明：∵CE平分∠ACB，
同理证得：AE=CE=BC，
∴AE=AD，
∵∠A=36°，
∴∠AED=∠ADE=72°，
∴∠ADE=∠C，
∴DE∥BC．

点评 本题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的判定，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键．