Question

如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC边上，连接AD，点E在直线
AC上，直线DE交直线BA于点F，且∠BDA=∠CDE
（1）求证：BF•CE=AB²；
（2）当∠BAC=120°时，作射线CF，在射线CF上确定一点G，使∠BGC=∠ABC，直线BG交直线AC于H，请你猜想AB，CE，AH这三条线段之间的数量关系，并且证明你的猜想．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形,平行线分线段成比例

专题：分类讨论

分析：（1）如图1，作辅助线；证明

AB

BF

=

BK

BD

；证明

CE

AC

=

CD

CK

；证明

BK

BD

=

CD

CK

，得到

AB

BF

=

CE

AC

，得到BF×CE=AB²．
（2）如图2或3，作辅助线；证明BC²=CH×BF；证明BC²=3AB²，得到CH×BF=3BF×CE，得到CH=3CE，即可解决问题．

解答：
解：（1）如图1，过A作DF的平行线交BC于K，
∵AK∥DF，
∴

AB

BF

=

BK

BD

；
∵AK∥DE，
∴

CE

AC

=

CD

CK

；
∵∠BDA=∠CDE，
∴∠AKC=∠ADB；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，在△ABD与△ACK中，

∠B=∠C ∠ADB=∠AKC AB=AC

，
∴△ABD≌△ACK（AAS），
∴BD=CK，BK=CD，
∴

BK

BD

=

CD

CK

，
∴

AB

BF

=

CE

AC

，
∴BF•CE=AB•AC，而AB=AC，
∴BF×CE=AB²．
（2）∵∠BGC=∠BCH，∠GBC=∠CBH，
∴△GBC∽△CBH，
∴∠BHC=∠BCG；
∵∠FBC=∠HCB，
∴△BHC∽△FCB，
∴

CH

BC

=

BC

BF

，
∴BC²=CH×BF；
过点A作BC的垂线，垂足是K；
∵∠BAC=120°，
∴∠B=∠ACB=30°，BK=CK=

1

2

BC；
∵∠AKB=90°，
∴cos∠ABK=

BK

AB

=

3

2

，
∴BC²=3AB²，由（1）得BF×CE=AB²，
∴CH×BF=3BF×CE
∴CH=3CE．
①如图2，当H在AC上时，
AB、CE、AH这三条线段之间的数量关系：3CE+AH=AB．
②如图3，当H在CA延长线上时，
AB、CE、AH这三条线段之间的数量关系：3CE-AH=AB．

点评：该题以三角形为载体，主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用、相似三角形的判定及其性质的应用等几何知识点问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．