Question

如图，直线y=-

3

x+4

3

与x轴相交于点A，与直线y=kx相交于点P（2，2

3

）．
（1）求点A的坐标和k的值；
（2）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O-P-A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），多点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B，设运动的时间为t秒．
①当点E运动在线段OP上时，若矩形EBOF的面积为3

3

，求t的值；
②设矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由y=-

3

x+4

3

与x轴相交于点A，可得出A的坐标，由直线y=kx过点P（2，2

3

）．代入可求得k的值．
（2））①由OE=t，可得出EF，OF的值，由矩形EBOF的面积为3

3

，即可解得t的值，
②当0＜t≤4时，EF=

3

2

t，OF=

1

2

t，S=

1

2

EF•OF=

1

2

×

3

2

t×

1

2

t=

3

8

t²，当4＜t＜8时，由S=S_矩形EBOF-S_△AEF=EF•OF-

1

2

EF•AF求出关系式关求出最大值即可．

解答：解：（1）∵y=-

3

x+4

3

与x轴相交于点A，
∴A的坐标（4，0），
∵直线y=kx过点P（2，2

3

）．
∴2

3

=2k，
k=

3

，
（2）①∵OE=t，
∴EF=

3

2

t，OF=

1

2

t，
∵矩形EBOF的面积为3

3

，
∴

1

2

×

3

2

t×

1

2

t=3

3

，解得t=2

6

，
②∵OP=

22+(2 3 )2

=4，
∴当0＜t≤4时，EF=

3

2

t，OF=

1

2

t，
S=

1

2

EF•OF=

1

2

×

3

2

t×

1

2

t=

3

8

t²，
∵如图，当4＜t＜8时，AE=AP-（t-4）=4-（t-4）=8-t，

∴EF=

3

2

（8-t），AF=

1

2

（8-t），
∴OF=OA-AF=4-

1

2

（8-t）=

1

2

t，
在△OBM和△EFA中，

OM=AE OB=EF

，
∴△OBM≌△EFA（HL），
∴S=S_矩形EBOF-S_△AEF=EF•OF-

1

2

EF•AF=

3

2

（8-t）×

1

2

t-

1

2

×

3

2

（8-t）×

1

2

（8-t）=-

3 3

8

（t-

16

3

）²+

8 3

3

，
∴S的最大值是

8 3

3

．

点评：本题主要考查了一次函数与几何图形的面积问题，解题的关键是分两种情况正确列出S与T的关系式．