Question

10．如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）若AB=$\sqrt{2}$，求四边形BDCE的面积．

Answer 1

分析 （1）由△ABC与△CDE均是等腰直角三角形可得AC=BC、CD=CE，根据∠ACB=∠DCE=90°得∠ACD=∠BCE，根据SAS可判定△ACD≌△BCE；
（2）由（1）知S_△ACD=S_△BCE，而S_{四边形BDCE}=S_△BCE+S_△BCD，可知S_{四边形BDCE}=S_△ACD+S_△BCD=S_△ABC．

解答 解：（1）∵∠ACB=∠DCE=90°，即∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
又∵△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，且AB=$\sqrt{2}$，
∴AC=BC=1，
∵△ACD≌△BCE，
∴S_△ACD=S_△BCE，
∵S_{四边形BDCE}=S_△BCE+S_△BCD，
∴S_{四边形BDCE}=S_△ACD+S_△BCD=S_△ABC=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质的应用，熟练掌握全等三角形的5种判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA、HL是关键，选用何种方法，取决于题目中的已知条件．