Question

2．将两块等腰直角三角板△ABD，△ACE如图摆放，0°＜∠BAC＜180°，连接BC，DE，AF是△ABC的中线．求证：
（1）∠DAE+∠BAC=180°；
（2）∠1=∠2．

Answer 1

分析 （1）根据周角的定义即可得到结论；
（2）延长AF到G，使FG=AF，通过△ACF≌△BGF，根据全等三角形的性质得到BG=AC，∠G=∠1，∠FBG=∠ACF，求得∠ABG=∠DAE，推出△ABG≌△ADE，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠DAE+∠BAC=360°-∠DAB-∠CAE=180°；

（2）延长AF到G，使FG=AF，
∵AF是△ABC的中线，
∴BF=CF，
在△ACF与△BFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=FG}\\{∠AFC=∠BFG}\\{CF=BF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BGF，
∴BG=AC，∠G=∠1，∠FBG=∠ACF，
∴∠ABG=180°-∠BAC，
∵∠DAE=180°-∠BAC，
∴∠ABG=∠DAE，
∵AE=AC，
∴AE=BG，
在△ABG与△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABG=∠DAE}\\{BG=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADE，
∴∠G=∠2，
∴∠1=∠2．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．