Question

14．如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC上，过D点作DG⊥DE交BA的延长线于G．
（1）求证：DE=DG；
（2）以线段DE、DG为边作出正方形DEFG，点K在AB上且BK=AG，连接KF，请画出图形，猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；
（3）当$\frac{CE}{CB}=\frac{m}{n}$时，请直接写出$\frac{{S}_{正方形ABCD}}{{S}_{正方形DEFG}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE⊥DG；
（2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F，得到正方形DEFG，由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形；
（3）由$\frac{CE}{CB}=\frac{m}{n}$，设CE=mx，CB=nx，于是得到CD=nx，根据勾股定理得到DE²=CE²+CD²=n²x²+m²x²=（n²+m²）x²，由于BC²=n²x²，即可得到结论；

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°．
在△DCE与△DAG中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=DA}\\{∠DCE=∠DAG}\\{CE=AG}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△DAG，
∴DE=DG；

（2）解：四边形CEFK为平行四边形．
证明：设CK、DE相交于M点，
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG，
∵BK=AG，
∴KG=AB=CD，
∴四边形CKGD是平行四边形，
∴CK=DG=EF，CK∥DG，
∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°，
∴∠KME+∠DEF=180°，
∴CK∥EF，
∴四边形CEFK为平行四边形．

（3）解：∵$\frac{CE}{CB}=\frac{m}{n}$，
∴设CE=mx，CB=nx，
∴CD=nx，
∴DE²=CE²+CD²=n²x²+m²x²=（n²+m²）x²，
∵BC²=n²x²，
∴$\frac{{S}_{正方形ABCD}}{{S}_{正方形DEFG}}$=$\frac{B{C}^{2}}{D{E}^{2}}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}+{n}^{2}}$．

点评 此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂．