Question

9．已知：如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，在BA上任取一点P，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，M是AB的中点．证明：
（1）ME=MF；
（2）PF+BE=AC．

Answer 1

分析 （1）欲证明MF=ME，只要证明△AFM≌△CEM即可．
（2）欲证明PF+BE=AC，因为AC=AF+CF，所以只要证明PF=AF，EB=FC，利用矩形的性质．等腰三角形的性质即可证明．

解答 （1）证明：连接MC．
∵PE⊥BC，PF⊥AC，
∴∠PEC=∠PFC=∠=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴PF=EC
∵CA=CB，∠=90°，AM=MB，
∴CM=AM=MB，∠A=∠B=∠APF=∠ACM=∠MCB=45°，
∴AF=PF，
在△AFM和△CEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=CM}\\{∠A=∠MCB}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴△AFM≌△CEM，
∴FM=ME．
（2）∵四边形PECF是矩形，
∴PE=CF，
∵∠B=45°，∠PEB=90°，
∴∠B=∠EPB=45°，
∴PE=EB，
∵PF=AF，
∴PF+BE=AF+FC=AC．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、矩形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键，属于中考常考题型．