Question

15．如图，抛物线y=x²-2mx-3m²（m为常数，m＞0），与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，
（1）用m的代数式表示：点C坐标为（0，-3m²），AB的长度为4m；
（2）过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，将△ACD沿x轴翻折得到△AEM，延长AM交抛物线于点N，
①求$\frac{AM}{AN}$的值；
②若AB=4，直线x=t交线段AN于点P，交抛物线于点Q，连接AQ、NQ，是否存在实数t，使△AQN的面积最大？如果存在，求t的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令横坐标为0即可求出C点的纵坐标，将抛物线的解析式进行因式分解，可得出A、B两点的坐标，从而得出AB的长度；
（2）①先求出D点坐标，再根据对称性得出M点坐标，进而求出直线AM的解析式，将AM的解析式与抛物线的解析式联立，解出N点坐标，N点与M点的纵坐标之比即为答案；
②将△AQN的面积表示成t的二次函数，通过配方求最大值．

解答 解：（1）令x=0，则y=-3m²，即C点的坐标为（0，-3m²），
∵y=x²-2mx-3m²=（x-3m）（x+m），
∴A（-m，0），B（3m，0），
∴AB=3m-（-m）=4m，
故答案为：（0，-3m²），4m；
（2）①令y=x²-2mx-3m²=-3m²，
则x=0（舍）或x=2m，
∴D（2m，-3m²），
∵将△ACD沿x轴翻折得到△AEM，
∴D、M关于x轴对称，
∴M（2m，3m²），
设直线AM的解析式为y=kx+b，
将A、M两点的坐标代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{-mk+b=0}\\{2mk+b=3{m}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=m}\\{b={m}^{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AM的解析式为：y=mx+m²，
联立方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+{m}^{2}}\\{y={x}^{2}-2mx-3{m}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-m}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=4m}\\{y=5{m}^{2}}\end{array}\right.$，
∴N（4m，5m²），
∴$\frac{AM}{AN}=\frac{{y}_{M}}{{y}_{N}}=\frac{3}{5}$；
②如图：

∵AB=4，
∴m=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3，直线AM的解析式为y=x+1，
∴P（t，t+1），Q（t，t²-2t，-3），N（4，5），A（-1，0），B（3，0）
设△AQN的面积为S，则：S=$\frac{1}{2}（{x}_{N}-{x}_{A}）（{y}_{P}-{y}_{Q}）$=$\frac{1}{2}（4+1）（t+1-{t}^{2}+2t+3）$=$-\frac{5}{2}（t-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{125}{8}$，
∴t=$\frac{3}{2}$，S最大．

点评 本题是二次函数的综合题型，主要考查了二次函数与坐标轴交点坐标的求法、横坐标之关表示水平距离、对称变换的性质、待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数图象交点的求法、坐标系中三角形面积表示方法、配方法求二次函数最大值等众多知识，难度适中．利用过竖直直线将三角形面积分割，从而用横坐标之差与纵坐标之差来表示三角形面积的方法是近几年中考二次函数压轴题中出现的高频考点，务必深入理解其原理并熟练掌握．