Question

4．如图，二次函数y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点D，该二次函数图象的对称轴与直线BC相交于点E，与x轴交于点F；
（1）求直线BC的解析式；
（2）试判断△BFE与△DCE是否相似？并说明理由；
（3）在坐标轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形与△DCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令x=0，可求得C点坐标，令y=0，可求得A、B点坐标，设出直线BC解析式，由待定系数法即可得出结论；
（2）观察两三角形可知，存在一个对顶角，只需再有一个角相等即可，由于DF⊥x轴，在△DCE中只要找到一个直角即可，结合边的长度由勾股定理可得出结论；
（3）结合（2）的结论，只要找到以点P、B、C为顶点的三角形与△BFE相似即可，分BC为斜边，直角边讨论即可．

解答 解：（1）令x=0，则有y=6，
∴C点坐标为（0，6）；
令y=0，则有-$\frac{1}{2}$x²+2x+6=0，
解得：x₁=-2，x₂=6，
∴A点坐标为（-2，0），B点坐标为（6，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{6=b}\\{0=6k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$．
∴直线BC的解析式为y=-x+6．
（2）假设△BFE与△DCE相似．
∵二次函数y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+8，
∴D点坐标为（2，8），直线DE解析式为x=2．
∵直线BC、DE相交于点E，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{x=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
即点E坐标为（2，4）．
∵点C（0，6），点D（2，8），
∴DE=4，CE=$\sqrt{（0-2）^{2}+（6-4）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{（0-2）^{2}+（6-8）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴DE²=CE²+CD²，
∴∠DCE=90°．
又∵∠BFE=90°，且∠DEC=∠BEF，
∴△DCE∽△BEF．
（3）假设存在．
由（2）可知△DCE∽△BEF，
故只需找到以点P、B、C为顶点的三角形与△BEF相似即可．
①以BC为斜边，如图1．

此时P点与O点重合，故P点坐标为（0，0）；
②以BC为直角边，点P在x轴上，如图2．

∵点C（0，6），点B（6，0），
∴BO=6，CO=6，
∴∠OBC=∠OCB=45°，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴BP=$\frac{BC}{sin∠OBC}$=$\frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=12，
∴P点坐标为（-6，0）；
③以BC为直角边，点P在y轴上，如图3．

CP=$\frac{BC}{sin∠OCB}$=$\frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=12，
∴P点坐标为（0，-6）．
综上可知：在坐标轴上存在这样的点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形与△DCE相似，P点的坐标为（0，0）、（-6，0）和（0，-6）．

点评 本题考查了待定系数法求直线解析式、相似三角形的判定、勾股定理及三角函数的应用，解题的关键：（1）找出B、C点的坐标；（2）利用勾股定理找到△DCE中有直角；（3）分BC为斜边，直角边讨论．本题属于中档题，（1）（2）难度不大，（3）稍微有点难度，一般的此类问题中会没有（2）的，此题中（2）给（3）指出了方向，因此降低了难度．