Question

4．如图，在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，连接BO，以AB为斜边向三角内部作Rt△ABE，且∠AEB=90°，连接EO．求证：
（1）∠OAE=∠OBE；
（2）AE=BE+$\sqrt{2}$OE．

Answer 1

分析 （1）在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，求得OB⊥AC，推出A，B，E，O四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）在AE上截取EF=BE，则△EFB是等腰直角三角形，于是得到$\frac{BF}{BE}=\sqrt{2}$，∠FBE=45°，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABO=45°，推出△ABF∽△BOE，求得$\frac{AF}{OE}$=$\sqrt{2}$，根据线段的和差即可得到结论．

解答 证明：（1）在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，
∴OB⊥AC，
∴∠AOB=90°，
∵∠AEB=90°，
∴A，B，E，O四点共圆，
∴∠OAE=∠OBE；

（2）在AE上截取EF=BE，则△EFB是等腰直角三角形，
∴$\frac{BF}{BE}=\sqrt{2}$，∠FBE=45°，
∵在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，
∴∠ABO=45°，
∴∠ABF=∠OBE，
∵$\frac{AB}{BO}=\sqrt{2}$，
∴$\frac{AB}{BO}=\frac{BF}{BE}$，
∴△ABF∽△BOE，
∴$\frac{AF}{OE}$=$\sqrt{2}$，
∴AF=$\sqrt{2}$OE，
∵AE=AF+EF，
∴AE=BE+$\sqrt{2}$OE．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．