Question

19．如图所示，△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D，F为垂足，DE⊥AB于E，且AB＞AC，试探索线段BE，AC，AE之间的数量关系并证明你的结论．

Answer 1

分析 结论：BE=AC+AE，连接DB、DC，作DM⊥CA于M，首先证明△ADE≌△ADM得AM=AE，再证明△BED≌△CMD得到BE=CM=CA+AM=CA+AE得证．

解答 结论：BE=AC+AE，理由如下，
证明：连接DB、DC作DM⊥CA于M，
∵DA平分∠MAB，DE⊥AB，DM⊥AM，
∴DE=DM，∠DEB=∠DMC=90°，
在RT△ADE和RT△ADM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DM}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ADM，
∴AE=AM，
∵DF垂直平分BC，
∴DB=DC，
在RT△BED和RT△CMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{DE=DM}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CMD，
∴BE=CM，
∴BE=AC+AM=AC+AE．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．