Question

5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E作EF∥AD交AB于点G，交CA的延长线于点F．求证：BG=CF．

Answer 1

分析 作CM∥AB交FE的延长线于M，欲证明BG=CF，只要证明BG=CM，CF=CM即可．

解答 证明：作CM∥AB交FE的延长线于M．
∵BG∥CM，
∴∠B=∠MCE，
∵E是BC中点，
∴BE=EC，
在△BEG和△CEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠MCE}\\{BE=EC}\\{∠BEG=∠MEC}\end{array}\right.$，
∴△BEG≌△CEM，
∴BG=CM，
∵AD∥EF，
∴∠1=∠FGA，∠2=∠F，
∵∠1=∠2，
∴∠F=∠FGA，
∵AB∥CM，
∴∠FGA=∠M，
∴∠F=∠M，
∴CF=CM，
∴BG=CF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，掌握中线倍长法添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．