Question

【题目】如图，抛物线 与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F．

（1）求线段DE的长；

（2）设过E的直线与抛物线相交于M(x1，y1)，N(x2，y2)，试判断当|x1﹣x2|的值最小时，直线MN与x轴的位置关系，并说明理由；

（3）设P为x轴上的一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当tan∠α=4时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）直线MN∥x轴，见解析；（3）P(19，0)或(﹣17，0)

【解析】

（1）根据抛物线的解析式即可求得与坐标轴的坐标及顶点坐标，进而求得直线BC的解析式，把对称轴代入直线BC的解析式即可求得．

（2）设直线MN的解析式为y=kx+b，依据E（1，2）的坐标即可表示出直线MN的解析式y=（2-b）x+b，根据直线MN的解析式和抛物线的解析式即可求得x2-bx+b-3=0，所以x1+x2=b，x1x2=b-3；根据完全平方公式即可求得=，所以当b=2时，|x1-x2|最小值=，因为b=2时，y=（2-b）x+b=2，所以直线MN∥x轴．

（3）由D（1，4），则tan∠DOF=4，得出∠DOF=∠α，然后根据三角形外角的性质即可求得∠DPO=∠ADO，进而求得△ADP∽△AOD，得出AD2=AOAP，从而求得OP的长，进而求得P点坐标．

由抛物线y=﹣x2+2x+3可知，C（0，3），

令y=0，则﹣x2+2x+3=0，解得：x=﹣1，x=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

∴顶点x=1，y=4，即D（1，4）；

∴DF=4

设直线BC的解析式为y=kx+b，代入B（3，0），C（0，3）得；

，解得，

∴解析式为；y=﹣x+3，

当x=1时，y=﹣1+3=2，

∴E（1，2），

∴EF=2，

∴DE=DF﹣EF=4﹣2=2．

（2）设直线MN的解析式为y=kx+b，

∵E（1，2），

∴2=k+b，

∴k=2﹣b，

∴直线MN的解析式y=（2﹣b）x+b，

∵点M、N的坐标是的解，

整理得：x2﹣bx+b﹣3=0，

∴x1+x2=b，x1x2=b﹣3；

∵=， ，

∴当b=2时，|x1﹣x2|最小值=，

∵b=2时，y=（2﹣b）x+b=2，

∴直线MN∥x轴．

（3）如图2，∵D（1，4），

∴tan∠DOF=4，

又∵tan∠α=4，

∴∠DOF=∠α，

∵∠DOF=∠DAO+∠ADO=∠α，

∵∠DAO+∠DPO=∠α，

∴∠DPO=∠ADO，

∴△ADP∽△AOD，

∴AD2=AOAP，

∵AF=2，DF=4，

∴AD2=AF2+DF2=20，

∴OP=19，

同理，当点P在原点左侧时，OP=17.

∴P1（19，0），P2（﹣17，0）．