【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(﹣4,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D为该抛物线上的一个动点,且在直线AC上方,当以A,C,D为顶点的三角形面积最大时,求点D的坐标及此时三角形的面积.
【答案】
(1)解:根据题意设抛物线解析式为y=a(x+4)(x﹣2),
把C(0,2)代入得:﹣8a=2,即a=﹣ ,
则抛物线解析式为y=﹣ (x+4)(x﹣2)=﹣ x2﹣ x+2
(2)解:过点D作DH⊥AB于点H,交直线AC于点G,连接DC,AD,如图所示,
设直线AC解析式为y=kx+t,则有 ,
解得: ,
∴直线AC解析式为y= x+2,
设点D的横坐标为m,则G横坐标也为m,
∴DH=﹣ m2﹣ m+2,GH= m+2,
∴DG=﹣ m2﹣ m+2﹣ m﹣2=﹣ m2﹣m,
∴S△ADC=S△ADG+S△CDG= DGAH+ DGOH= DGAO=2DG=﹣ m2﹣2m=﹣ (m2+4m)=﹣ [(m+2)2﹣4]=﹣ (m+2)2+2,
当m=﹣2时,S△ADC取得最大值2,此时yD=﹣ ×(﹣2)2﹣ ×(﹣2)+2=2,即D(﹣2,2).
【解析】(1)根据A与B坐标设出抛物线解析式,将C坐标代入即可求出;(2)过点D作DH⊥AB于点H,交直线AC于点G,连接DC,AD,如图所示,利用待定系数法求出直线AC解析式,设D横坐标为m,则有G横坐标也为m,表示出DH与GH,由DH﹣GH表示出DG,三角形ADC面积=三角形ADG面积+三角形DGC面积,表示出面积与m的关系式,利用二次函数性质确定出面积的最大值,以及此时m的值,即此时D的坐标即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的最值的相关知识,掌握如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当x=-b/2a时,y最值=(4ac-b2)/4a,以及对抛物线与坐标轴的交点的理解,了解一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标.因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点.当b2-4ac>0时,图像与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,图像与x轴有一个交点;当b2-4ac<0时,图像与x轴没有交点.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某校为了了解初三年级1000名学生的身体健康情况,从该年级随机抽取了若干名学生,将他们按体重(均为整数,单位:kg)分成五组(A:39.5~46.5;B:46.5~53.5;C:53.5~60.5;D:60.5~67.5;E:67.5~74.5),并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图.
解答下列问题:
(1)这次抽样调查的样本容量是 ,并补全频数分布直方图;
(2)C组学生的频率为 ,在扇形统计图中D组的圆心角是 度;
(3)请你估计该校初三年级体重超过60kg的学生大约有多少名?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△OAB中,∠OAB=90°,OA=AB=6,将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°
得到△OA1B1 .
(1)线段A1B1的长是 , ∠AOA1的度数是;
(2)连结AA1 , 求证:四边形OAA1B1是平行四边形;
(3)求四边形OAA1B1的面积.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0( )
A.没有实根
B.只有一个实根
C.有两个实根,且一根为正,一根为负
D.有两个实根,且一根小于1,一根大于2
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知A,B两点在数轴上,点A表示的数为-10,OB=3OA,点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动.点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动(点M、点N同时出发)
(1)数轴上点B对应的数是______.
(2)经过几秒,点M、点N分别到原点O的距离相等?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在同一平面内,△ABC和△ABD如图①放置,其中AB=BD.
小明做了如下操作:
将△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA,将△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA,如图②,请完成下列问题:
(1)试猜想四边形ABDF是什么特殊四边形,并说明理由;
(2)连接EF,CD,如图③,求证:四边形CDEF是平行四边形.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】观察下列等式:
3﹣=3×;
(﹣)﹣6=(﹣)×6;
(﹣0.5)﹣(﹣1)=(﹣0.5)×(﹣1)
根据上面这些等式反映的规律,解答下列问题:
(1)上面等式反映的规律用文字语言可以描述如下:存在两个有理数,使得这两个有理数的差等于
.
(2)若满足上述规律的两个有理数中有一个数是,求另一个有理数;
(3)若这两个有理数用字母a、b表示,则上面等式反映的规律用字母表示为 ;
(4)在(3)中的关系式中,字母a、b是否需要满足一定的条件?若需要,直接写出字母a、b应满足的条件;若不需要,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,每小正方形的边长为个单位,每个小方格的顶点叫格点.
(1)画出的边上的中线;
(2)画出向右平移个单位后得到的;
(3)图中与的关系是 ;
(4)能使的格点(不同于点),共有 个,在图中分别用、、表示出来.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com