Question

【题目】如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．

（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）求证：CG=BG；
（3）若∠DBA=30°，CG=4，求BE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，

∵∠A=∠CBD，

∴ = ，

∴OC⊥BD，

∵CE∥BD，

∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切线；

（2）证明：∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∵CF⊥AB，

∴∠ACB=∠CFB=90°，

∵∠ABC=∠CBF，

∴∠A=∠BCF，

∵∠A=∠CBD，

∴∠BCF=∠CBD，

∴CG=BG；

（3）解：连接AD，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∵∠DBA=30°，

∴∠BAD=60°，

∵ = ，

∴∠DAC=∠BAC= ∠BAD=30°，

∴ =tan30°= ，

∵CE∥BD，

∴∠E=∠DBA=30°，

∴AC=CE，

∴ = ，

∵∠A=∠BCF=∠CBD=30°，

∴∠BCE=30°，

∴BE=BC，

∴△CGB∽△CBE，

∴ = = ，

∵CG=4，

∴BC=4 ，

∴BE=4 ．

【解析】（1）连接OC，由两弧再根据垂径定理得到OC⊥BD，根据平行线的性质推出OC⊥CE，CE是⊙O的切线；
（2）先根据圆周角定理得出∠ACB=90°，然后根据同角的余角相等得出∠A=∠BCF，即可证得∠BCF=∠CBD，根据同角对等边即可证得CG=BG；
（3）连接AD，根据圆周角定理得和解直角三角形的值，再根据三角形相似和等腰三角形的判定即可求得BE的值．

【考点精析】掌握勾股定理的概念和垂径定理是解答本题的根本，需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．