Question

4．等腰三角形腰上的高等于一边的一半，求顶角的度数．

Answer 1

分析 等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形一边的一半，既没有说明该等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形，又没有说明是等于腰长还底边的一半，因此需分三种情况，进行分类讨论．

解答 解：（1）当等腰三角形腰上的高等于腰长的一半时：
①如图1，当等腰三角形为锐角三角形时：
∵BD⊥AC，且AC=AB=2BD，
∴∠A=30°，
即等腰三角形的顶角为30°，
②如图2，当等腰三角形为钝角三角形时：
∵BD⊥AC，且AC=AB=2BD，
∴∠DAB=30°，
∴∠CAB=150°，
即等腰三角形的顶角为150°；
（2）当等腰三角形腰上的高等于底的一半时：
∵BD⊥AC，且CB=2BD，
∴∠C=30°，
∴∠CAB=120°，
即等腰三角形的顶角为120°．
综上所述，等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形一边的一半时，其顶角度数可能是30°，150°，120°．

点评 本题考查了等腰三角形的性质；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．