Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AD＝3厘米，AB＝a厘米(a>3)．动点M，N同时从B点出发，分别沿B→A，B→C运动，速度是1厘米/秒．过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q．当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．

(1)若a＝4厘米，t＝1秒，则PM＝______厘米；

(2)若a＝5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；

(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；

Answer 1

【答案】（1）；（2）2∶3；（3）3<a≤6．

【解析】

（1）由题意可知，t＝1秒时，BN=BM=1，又因为PM⊥BC，所以△ANB∽△APM，根据相似三角形的性质，即可求得PM；（2）根据题意，当△PNB∽△PAD时，对应边之比等于高之比，即进而可以求出时间t以及相似比；（3）设BN=t，则0，则BM=t，再用t表示出PM，就可以用t表示出两个梯形的面积，求出t的值，进而求出a的取值范围．

解：(1)当t＝1时，MB＝1，NB＝1，AM＝4－1＝3，

∵PM∥BN，

∴△ANB∽△APM，

∴，

∴PM＝．

(2)作出△PNB和△PAD，则BM和AM分别是它们的高，

若△PNB∽△PAD，则，

即，解得t=2，

即t＝2时，使得△PNB∽△PAD，

∴相似比为2∶3．

(3)∵PM⊥AB，CB⊥AB，∠AMP＝∠ABC，△AMP∽△ABN，

∴，即，

∴，

∴，

当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等时，

即，

化简得t＝，

∵t3，

∴，则a6，

∴3a6．