Question

抛物线y=ax²+bx+c对称轴为直线x=-1，与x轴交于A（-3，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接AC、CD、DA，试判断△ACD的形状，并说明理由；
（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据对称轴的解析式，以及函数经过点，则点的坐标一定满足函数解析式，即可列方程组求得a、b、c的值，求得函数的解析式；
（2）求得D的坐标，然后利用勾股定理求得AC、CD和DA的长，利用勾股定理的逆定理即可判断；
（3）分AB是一边和AB是对角线两种情况进行讨论，根据平行四边形的性质即可求解．

解答：解：（1）根据题意得：

- b 2a =-1 c=3 9a-3b+c=0

，
解得：

a=-1 b=-2 c=3

，
则抛物线的解析式是y=-x²-2x+3；
（2）在y=-x²-2x+3中令x=-1，则y=4，则D的坐标是（-1，4）．
则AC=

32+32

=3

2

，
CD=

(-1)2+(4-3)2

=

2

，
DA=

(-3+1)2+42

=2

5

，
∵（3

2

）²+（

2

）²=（2

5

）²，即AC²+CD²=DA²，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°；
（3）在y=-x²-2x+3中令y=0，解得：x=-3，或1，
则B的坐标是（1，0）．
则AB=4．
当AB是平行四边形的一条边时，Q一定在AB的下方，则QP=AB=4，
则P的横坐标是：-5或3．
当x=-5时，y=-25+10+3=-12，则P的坐标是（-5，-12）；
当x=3时，y=-12，则P的坐标是（3，-12）；
当AB是对角线时，P一定与D重合，则坐标是（-1，4）．
故P的坐标是（-5，-12）或（3，-12）或（-1，4）．

点评：本题考查了待定系数法求得函数的解析式，以及勾股定理的逆定理，正确对平行四边形进行讨论是关键．