Question

10．已知⊙O的半径为5，且点O在直线l上，小明用一个三角板学具（∠ABC=90°，AB=BC=8）做数学实验：
（1）如图①，若A、B两点在⊙O上滑动，直线BC分别与⊙O、l相交于点D、E．
①求BD的长；②当OE=6时，求BE的长；
（2）如图②，当点B在直线l上，点A在⊙O上，BC与⊙O相切于点P时，则切线长PB=4．

Answer 1

分析 （1）①连接AD，根据90°圆周角所对的弦是直角可知AD是圆O的直径，在△ABD中，依据勾股定理可求得BD的长；
②连接OD，过点O作OF⊥BD，垂足为F．由垂径定理可求得FD、BF的长，然后在△FOE中，依据勾股定理可求得EF的长，从而可求得BE的长．
（2）如图②中，连接PO，并延长交⊙O于点Q，连接AQ，AP，利用△PAQ∽△ABP，得$\frac{AB}{AP}$=$\frac{AP}{PQ}$，求出PA²=80，在RT△PAB中利用勾股定理求出PB即可．

解答 解：（1）①如图1所示：连接AD．

∵∠ABD=90°，
∴AD是圆O的直径．
∴AD=10．
在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{B}^{2}}$=6．
②如图1所示：过点O作OF⊥BD，垂足为F．
∵OF⊥BD，BD=6，
∴BF=FD=3．
在Rt△ODF中，OF=$\sqrt{O{D}^{2}-F{D}^{2}}$=4．
在Rt△OFE中，EF=$\sqrt{O{E}^{2}-O{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴BE=FB+EF=3+2$\sqrt{5}$．
如图①′中，

BE=EF-BF=2$\sqrt{5}$-3，
综上所述，BE的值为3+2$\sqrt{5}$或2$\sqrt{5}$-3．
（2）如图②中，连接PO，并延长交⊙O于点Q，连接AQ，AP，

∵BC是⊙O的切线，PQ是直径
∴∠CPO=∠CBA=∠PAQ=90°，
∴PQ∥AB，
∴∠PAB=∠APQ，
∵∠PAQ=∠PBA=90°，
∴△PAQ∽△ABP，
∴$\frac{AB}{AP}$=$\frac{AP}{PQ}$，
∴PA²=80，
在RT△PAB中，PB=$\sqrt{P{A}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{80-64}$=4．
故答案为4．

点评 本题主要考查的是垂径定理、圆周角定理、勾股定理的应用，掌握此类问题的辅助线的作法是解题的关键，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．