Question

2．如图，点E在矩形ABCD的边AB上，点G在CB的延长线上，连接AG，直线CE交于AG于点F，若AF=GF，∠BCE=30°，EF=4，AE=8，则BC=4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过点F作FH⊥BG于H，设BE=x，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得FH=$\frac{1}{2}$AB，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出x，然后在Rt△BCE中，求出CE，再利用勾股定理列式计算即可得解．

解答 解：如图，过点F作FH⊥BG于H，设BE=x，
∵AF=GF，
∴FH是△ABG的中位线，
∴FH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$（8+x），
∵∠BCE=30°，
∴CE=2BE=2x，
CF=2FH=2×$\frac{1}{2}$（8+x）=8+x，
∵EF=4，
∴2x+4=8+x，
解得，x=4，
在Rt△BCE中，CE=2x=2×4=8，
BC=$\sqrt{C{E}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，难点在于根据CF的长列出方程．