Question

12．在Rt△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DF∥AB交直线AC于点E．
（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC．
（2）当点D在边BC的延长线上时（如图②）或当点D在边BC的反向延长线上时（如图③），线段DE、DF、BC又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择其中一种情况加以证明．

Answer 1

分析 （1）证明四边形AFDE是矩形，且△DEC和△BDF是等腰直角三角形即可证得；
（2）与（1）的证明方法相同；

解答 （1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形．
∵∠A=90°，
∴?AFDE是矩形，
∴∠AFD=∠AED=90°，
∴∠BFD=∠DEF=90°，
∴△BDF和△DEC是等腰直角三角形，
∴BD=$\sqrt{2}DF$，CD=$\sqrt{2}$DE，
∴BC=BD+DC=$\sqrt{2}$（DE+DF），
∴DE+DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC；
（2）图②中：DF-DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，
图③中：DE-DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC；
证明：如图②，∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形．
∵∠F=∠BAC=90°，
∴?AFDE是矩形，
∴∠AFD=∠AED=90°，
∴△BDF和△DEC是等腰直角三角形，
∴BD=$\sqrt{2}DF$，CD=$\sqrt{2}$DE，
∴BC=BD-DC=$\sqrt{2}$（DF-DE），
∴DF-DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC．

点评 本题考查了矩形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定和性质，熟记等腰直角三角形的性质是解题的关键．