Question

2．在△ABC中，c为最长边．当a²+b²=c²时，△ABC是直角三角形；当a²+b²＜c²时，△ABC是钝角三角形；当a²+b²＞c²时，△ABC是锐角三角形．若a=2，b=4，试判断△ABC的形状（按角分），并求出对应的c的取值范围．

Answer 1

分析 分三种情况：①△ABC是直角三角形；②△ABC是钝角三角形；③△ABC是锐角三角形．

解答 解：∵a=2，b=4，
∴a²+b²=2²+4²=20．
分三种情况：
①△ABC是直角三角形时，a²+b²=c²，
c²=20，c=2$\sqrt{5}$；
②△ABC是钝角三角形时，a²+b²＜c²，且a+b＞c，
即20＜c²，且6＞c，
解得2$\sqrt{5}$＜c＜6；
③△ABC是锐角三角形时，a²+b²＞c²，且b-a＜c，
即20＞c²，解得-2$\sqrt{5}$＜c＜2$\sqrt{5}$，
∵c为最长边，
∴c≥4．
故4≤c＜2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形形状的判断及学生的阅读理解能力．