Question

3．在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E，F分别在边CD，AD上，且ED=FD，连接BF，G为BF的中点，连接EG，AF=2，DF=$\frac{10}{3}$，则EG=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 作GH⊥EF于H，连接BD，先由菱形的性质得出∠ADO=30°，再由含30°的直角三角形的性质得出GH=$\frac{1}{2}$BM，FH=$\frac{1}{2}$FM，求出OD、BD，再证明△DEF是等边三角形，得出FM=$\frac{5}{3}$，GH=$\frac{11\sqrt{3}}{6}$，HE=$\frac{5}{2}$，然后根据勾股定理求出EG．

解答 解：作GH⊥EF于H，连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠ADC=60°，BD平分∠ADC，AC⊥BD，
∴∠ADO=30°，GH∥BD，
∵G为BF的中点，
∴GH=$\frac{1}{2}$BM，FH=$\frac{1}{2}$FM，
∵AD=2+$\frac{10}{3}$=$\frac{16}{3}$，
∴OD=AD•cos30°=$\frac{8}{3}\sqrt{3}$，
∴BD=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∵ED=FD，
∴△DEF是等边三角形，
∴EF⊥BD，EF=DF=$\frac{10}{3}$，FM=$\frac{5}{3}$，DM=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴FH=$\frac{5}{6}$，BM=$\frac{11\sqrt{3}}{3}$，
∴GH=$\frac{11\sqrt{3}}{6}$，HE=$\frac{5}{2}$，
∴EG=$\sqrt{（\frac{11\sqrt{3}}{6}）^{2}+（\frac{5}{2}}）^{2}$=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$；
故答案为：$\frac{7\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°的直角三角形的性质、三角函数以及勾股定理；本题难度较大，综合性强，需要通过作辅助线才能得出结果．