Question

18．如图，现有一张矩形纸片ABCD，其中AB=4cm，BC=6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，使点B落在梯形AECD内，记为点B′，那么B′、C两点之间的距离是$\frac{18}{5}$ cm．

Answer 1

分析 如图所示：过点B′作B′F⊥BC，垂足为F，连接B′C．首先求得AE=5．然后在求得OE=$\frac{9}{5}$．，OB=$\frac{12}{5}$，由翻折的性质可知BB′=$\frac{24}{5}$，接下来证明△BOE∽△BFB′，由相似三角形的性质可得到：$B′F=\frac{72}{25}$，$BF=\frac{96}{25}$，从而可求得FC=$\frac{54}{25}$，Rt△B′FC中，由勾股定理可求得B′C=$\frac{18}{5}$．

解答 解：如图所示：过点B′作B′F⊥BC，垂足为F，连接B′C．

∵点E是BC的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$．
在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$．
由射影定理可知；OE•AE=BE²，
∴OE=$\frac{9}{5}$．
由翻折的性质可知；BO⊥AE．
∴$\frac{1}{2}AB•BE=\frac{1}{2}AE•OB$．
∴OB=$\frac{12}{5}$．
∴BB′=$\frac{24}{5}$．
∵∠OBE=∠FBB′，∠BOE=∠BFB′，
∴△BOE∽△BFB′．
∴$\frac{OE}{B′F}=\frac{BE}{BB′}$=$\frac{OB}{BF}$，即$\frac{\frac{9}{5}}{B′F}=\frac{3}{\frac{24}{5}}$=$\frac{\frac{12}{5}}{BF}$．
解得：$B′F=\frac{72}{25}$，$BF=\frac{96}{25}$．
∴FC=$\frac{54}{25}$．
在Rt△B′FC中，B′C=$\sqrt{B′{F}^{2}+F{C}^{2}}=\sqrt{（\frac{72}{25}）^{2}+（\frac{54}{25}）^{2}}$=$\frac{18}{5}$．
故答案为：$\frac{18}{5}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定，求得B′F、BF的长度是解题的关键．