Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点B（6，8），动点M，N同时从O点出发，点M沿射线OA方向以每秒1个单位的速度运动，点N沿线段OB方向以每秒0.6个单位的速度运动，当点N到达点B时，点M，N同时停止运动，连接MN，设运动时间为t（秒）．

（1）求证△ONM～△OAB；

（2）当点M是运动到点时，若双曲线的图象恰好过点N，试求k的值；

（3）△MNB与△OAB能否相似？若能试求出所有t的值，若不能请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）k＝12；（3）能，t＝6s或s时，△BMN与△AOB相似．

【解析】

（1）用含t的式子表示OM，ON，可证得，即可解决问题；

（2）根据M点坐标可求得运动时间，进而求得N点坐标，再利用待定系数法求解析式即可解决问题；

（3）分两种情形解决）①当点M与点A重合时，△BNM∽△BAO，此时求得t．②当OM＝BM时，△MBN∽△BOA，此时点M在线段OB 的垂直平分线上，可求得此时t值

解：（1）证明：由题意：OA＝6，AB＝8，OB＝10，OM＝t，ON＝0.6t，

∴，

∵∠MON＝∠AOB，

∴△ONM∽△OAB．

（2）当OM＝时，ON＝5，

∴ON＝NB，

∴N（3，4），

∵双曲线的图象恰好过点N，

∴k＝12．

（3）①当点M与点A重合时，△BNM∽△BAO，此时t＝6s．

②当OM＝BM时，∠MBN＝∠AOB，∵∠OAB＝∠MNB＝90°，

∴△MBN∽△BOA，

此时点M在线段OB 的垂直平分线上，

由（2）可知，此时OM＝，t＝s，

综上所述，当t＝6s或s时，△BMN与△AOB相似．