Question

3．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于13cm²，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm²吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）这段铁丝被分成两段后，围成正方形．其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（5-x），根据“两个正方形的面积之和等于12cm²”作为相等关系列方程，解方程即可求解；
（2）设两个正方形的面积和为y，可得二次函数y=x²+（5-x）²=2（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{2}$，利用二次函数的最值的求法可求得y的最小值是12.5，所以可判断两个正方形的面积之和不可能等于12cm²．

解答 解：（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（5-x）cm，
依题意列方程得x²+（5-x）²=13，
整理得：x²-5x+6=0，
（x-2）（x-3）=0，
解方程得x₁=2，x₂=3，
2×4=8cm，20-8=12cm；
或3×4=12cm，20-12=8cm．
因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是8cm、12cm；

（2）两个正方形的面积之和不可能等于12cm²．理由：
设两个正方形的面积和为y，则
y=x²+（5-x）²=2（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{2}$，
∵a=2＞0，
∴当x=$\frac{5}{2}$时，y的最小值=12.5＞12，
∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm²；
（另解：由（1）可知x²+（5-x）²=12，
化简后得2x²-10x+13=0，
∵△=（-10）²-4×2×13=-4＜0，
∴方程无实数解；
所以两个正方形的面积之和不可能等于12cm²．

点评 此题考查了一元二次方程的应用，等量关系是：两个正方形的面积之和=17或12．读懂题意，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键．