Question

17．如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE．
（1）试判断BF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BF=5，cos∠C=$\frac{4}{5}$，求⊙O的直径；
（3）若cos∠F=$\frac{3}{5}$，则$\frac{{{S_{△ACE}}}}{{{S_{△ABE}}}}$=$\frac{7}{25}$．（直接填写结果）

Answer 1

分析 （1）连接OB、OA或连接BD，由于AB=AC，则∠ABC=∠C，由AF=AE，则∠EBA=∠FBA，从而得出∠ABD+∠FBA=90°，即OB⊥BF，则BF是⊙O切线；
（2）由（1）得∠C=∠D，再由cos∠D=$\frac{4}{5}$，得$\frac{BD}{DF}$=$\frac{4}{5}$、$\frac{BF}{DF}$=$\frac{3}{5}$，从而求出BD．
（3）根据两三角形的高相同，它们的面积的比等于底边的比求解即可．

解答 证明：（1）BF与⊙O相切，连接OB、OA，连接BD，
∵AD⊥AB，∴∠BAD=90°
∴BD是直径，∴BD过圆心
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D，
∵AD⊥AB，
∴∠ABD+∠D=90°，
∵AF=AE，
∴∠EBA=∠FBA，
∴∠ABD+∠FBA=90°，
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O切线（4分）；

（2）∵∠C=∠D，cos∠C=$\frac{4}{5}$，
∴cos∠D=$\frac{4}{5}$，
∵BF=5，
∴$\frac{BD}{DF}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{BF}{DF}$=$\frac{3}{5}$，
∴BD=$\frac{4}{3}$×5=$\frac{20}{3}$，
∴直径为$\frac{20}{3}$；

（3）∵cos∠F=$\frac{3}{5}$，
∴cos∠BEA=$\frac{3}{5}$，
设AF=AE=3x，则BF=BE=5x、AB=AC=4x，
∴BD=$\frac{20}{3}x$，AD=$\frac{16x}{3}$，
∴DE=$\frac{7}{3}$x，
∵△ACE∽△BDE，
∴CE：DE=AE：BE，
∴CE=$\frac{7}{5}$x，
∴$\frac{{{S_{△ACE}}}}{{{S_{△ABE}}}}$=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{\frac{7}{5}x}{5}$=$\frac{7}{25}$．

点评 此题考查了切线的判定方法相似三角形的判定级性质及圆的综合知识，运用了三角函数求线段的长，综合性较强，难度偏大．