Question

8．菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD交AC于F，AF=BD，G为BD上的点，EG∥AB．
（1）求证：△AEF≌△BED；
（2）求证：BO=（$\sqrt{2}$+1）OG．

Answer 1

分析 （1）先证明∠EAF=∠EBD，再根据AAS即可证明△AEF≌△BED；
（2）先证明△ABE是等腰直角三角形，得出∠BAE=∠ABE=45°，再证明△GEF≌△GED，得出FG=DG，∠EDG=∠EFG=∠AFE，由∠BAE=45°，得出∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAE=22.5°，证出△GOF是等腰直角三角形，得出FG=$\sqrt{2}$OG，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∴∠EAF+∠ADO=90°，
∵BE⊥AD，
∴∠AEF=∠BED=90°，
∴∠EBD+∠ADO=90°，
∴∠EAF=∠EBD，
在△AEF和△BED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠BED}&{\;}\\{∠EAF=∠EBD}&{\;}\\{AF=BD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BED（AAS）；
（2）证明：由（1）得：△AEF≌△BED，
∴AE=BE，DE=EF，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE=∠ABE=45°，
∵EG∥AB，
∴∠DEG=∠BAE=∠ABE=∠FEG=45°，
在△GEF和△GED中，$\left\{\begin{array}{l}{EF=DE}&{\;}\\{∠FEG=∠DEG}&{\;}\\{EG=EG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△GEF≌△GED（SAS），
∴FG=DG，∠EDG=∠EFG=∠AFE，
∵∠BAE=45°，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAE=22.5°，
∴∠EFG=∠AFE=90°-22.5°=67.5°，
∴∠AFG=2∠AFE=90°-∠EAF=67.5°，
∴∠AFG=∠AFE=135°，
∴∠GFO=45°，
∴△GOF是等腰直角三角形，
∴FG=$\sqrt{2}$OG，
∴OB=OD=DG+OG=FG+OG=$\sqrt{2}$OG+OG=（$\sqrt{2}$+1）OG．

点评 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．