Question

【题目】阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系.

小明发现，利用轴对称做一个变化，在BC上截取CA′=CA，连接DA′，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）.

（1）求证：△ADC≌△A′DC；

（2）试猜想写出BC和AC、AD之间的数量关系，并给出证明.

Answer 1

【答案】(1)、答案见解析；(2)、BC=AC+AD；理由见解析

【解析】

试题分析：(1)、根据角平分线得出∠ACD=∠A′CD，然后得出△ADC和△A′DC全等，从而得出答案；(2)、根据全等得出DA′=DA，∠CA′D=∠A=60°，CA′=CA，然后根据等腰三角形的性质得出答案.

试题解析：(1)、∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠A′CD，

在△ADC和△A′DC中， ， ∴△ADC≌△A′DC（SAS）

(2)、BC=AC+AD；

理由如下：由（1）得：△ADC≌△A′DC， ∴DA′=DA， ∠CA′D=∠A=60°， CA′=CA

∵∠ACB=90°， ∴∠B=90°﹣∠A=30°， ∵∠CA′D=∠B+∠BDA′，∴∠BDA′=30°=∠B，

∴DA′=BA′， ∴BA′=AD， ∴BC=CA′+BA′=AC+AD