Question

3．如图，直角坐标平面内的梯形OABC，OA在x轴上，OC在y轴上，OA∥BC，点E在对角线OB上，点D在OC上，直线DE与x轴交于点F，已知OE=2EB，CB=3，OA=6，BA=3$\sqrt{5}$，OD=5．
（1）求经过点A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）求证：△ODE∽△OBC；
（3）在y轴上找一点G，使得△OFG∽△ODE，直接写出点G的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质，可得BG与OC的关系，OG与BC的关系，根据勾股定理，可得BG的长，可得B，C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据勾股定理，可得OB的长，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案；
（3）根据相似三角形的性质，可得EH，OH的长，根据待定系数法，可得DE的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得F点坐标，根据相似三角形的性质，可得OG的长，可得G点坐标．

解答 解：（1）如图1，
作BG⊥OA于G点，四边形OCBG是矩形，BG=OC，OG=BC=3．
AG=OA-OG=6-3=3．
由勾股定理，得
BG=$\sqrt{B{A}^{2}-A{G}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{5}）^{2}-{3}^{2}}$=6．
OC=BG=6，即C（0，6）；
BC=3，BG=6，即B（3，6）．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，将A、B、C点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{36a+6b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=1}\\{c=6}\end{array}\right.$
抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²+x+6；
（2）证明：由勾股定理，得
OB=$\sqrt{O{G}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．
由OE=2OB，得
OE=$\frac{2}{3}$OB=2$\sqrt{5}$．
由比的性质，得
$\frac{OE}{OC}$=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，且∠DOE=∠BOC，
∴△ODE∽△OBC．
（3）如图2，作EH⊥OG于G点，
$\frac{EH}{BG}$=$\frac{OE}{OB}$=$\frac{2}{3}$，EH=$\frac{2}{3}$×6=4，$\frac{OH}{OG}$=$\frac{OE}{OB}$=$\frac{2}{3}$，OH=$\frac{2}{3}$×3=2，
即E（2，4），D（0，5），
设DE的解析式为y=kx+b，将D，E点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{b=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=5}\end{array}\right.$．
DE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+5，
当y=0时，x=10，即F（10，0）．
OF=10．
由△ODE∽△OBC，得∠OED=90°．
由勾股定理，得
DE=$\sqrt{O{D}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
由△OFG∽△ODE，得
$\frac{OF}{ED}$=$\frac{OG}{OE}$，即OG=$\frac{OF•OE}{ED}$=$\frac{10×2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=20，
点G的坐标为（0，20）、（0，-20）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用相似三角形的判定：两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；利用相似三角形的性质得出$\frac{OF}{ED}$=$\frac{OG}{OE}$是解题关键．