Question

【题目】如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．

（1）求证：△OCD是等边三角形；

（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）△AOD是直角三角形，理由详见解析；（3）当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．

【解析】

（1）根据全等三角形的性质得到OC=DC，根据等边三角形的判定定理证明即可；

（2）根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BOC=∠α=150°，结合图形计算即可；

（3）分∠AOD=∠ADO、∠AOD=∠OAD、∠ADO=∠OAD三种情况，根据等腰三角形的判定定理计算即可．

解：（1）∵△BOC≌△ADC，

∴OC＝DC．

∵∠OCD＝60°，

∴△OCD是等边三角形．

（2）△AOD是直角三角形．

理由如下：

∵△OCD是等边三角形，

∴∠ODC＝60°，

∵△BOC≌△ADC，∠α＝150°，

∴∠ADC＝∠BOC＝∠α＝150°，

∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，

∴△AOD是直角三角形．

（3）∵△OCD是等边三角形，

∴∠COD＝∠ODC＝60°．

∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，

∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，

∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，

∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．

①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，

∴α＝125°．

②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，

∴α＝140°．

③当∠ADO＝∠OAD时，

α﹣60°＝50°，

∴α＝110°．

综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．