Question

4．已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在射线AN、AM上．
（1）如图（1），若∠ABC=∠ADC=90°，求证：①DC=BC；②AD+AB=AC．
（2）如图（2），若∠ABC+∠ADC=180°，（1）中的结论①、②是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DC=BC，②根据角平分线的定义求出∠BAC=∠DAC=60°，然后求出∠ACB=∠ACD=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=$\frac{1}{2}$AC，AD=$\frac{1}{2}$AC，从而得证；
（2）过点C作CE⊥AB于E，作CF⊥AD于F，根据同角的补角相等求出∠ABC=∠CDF，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE=CF，然后利用“角角边”证明△BCE和△DCF全等，根据全等三角形对应边相等可得DC=BC，BE=DF，从而求出AD+AB=AE+AF，然后根据（1）的结论得证．

解答 证明：（1）①∵AC平分∠MAN，∠ABC=∠ADC=90°，
∴DC=BC，
②∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，
∴∠BAC=∠DAC=60°，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠ACB=∠ACD=90°-60°=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$AC，AD=$\frac{1}{2}$AC，
∴AB+AD=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$AC=AC，
即AD+AB=AC；

（2），（1）中的结论①、②仍然成立．
理由如下：如图，过点C作CE⊥AB于E，作CF⊥AD于F，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∠CDF+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠CDF，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
在△BCE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠CDF}\\{∠BEC=∠DFC=90°}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF（AAS），
∴DC=BC，BE=DF，
∴AD+AB=AD+AE+BE=AD+AE+DF=AF+AE，
即AD+AB=AE+AF，
由（1）的结论可知AE+AF=AC，
即AD+AB=AC，
综上所述，（1）中的结论①、②仍然成立．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于（2）作辅助线构造出全等三角形．