【题目】如图，在平面直角坐标系
中，已知抛物线
与直线
都经过
、
两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线和直线
的解析式；
（2）设直线与该抛物线的对称轴交于点E，在射线
上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点P是直线下方抛物线上的一动点，当
面积最大时，求点P的坐标，并求面积的最大值．
【答案】（1）抛物线的解析式为
，直线
的解析式为
，（2）
或
．（3）当
时，
面积的最大值是
，此时P点坐标为
．
【解析】
（1）将
、
两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解；
（2）先求出C点坐标和E点坐标，则
，分两种情况讨论：①若点M在x轴下方，四边形
为平行四边形，则
，②若点M在x轴上方，四边形
为平行四边形，则，设
，则
，可分别得到方程求出点M的坐标；
（3）如图，作
轴交直线于点G，设
，则
，可由
，得到m的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可．
解：（1）∵抛物线
经过、两点，
∴
，
∴
，
∴抛物线的解析式为，
∵直线
经过、两点，
∴
，解得：
，
∴直线的解析式为，
（2）∵
，
∴抛物线的顶点C的坐标为
，
∵
轴，
∴
，
∴，
①如图，若点M在x轴下方，四边形为平行四边形，则，
设，则，
∴
，
∴
，
解得：
，
（舍去），
∴
，
②如图，若点M在x轴上方，四边形为平行四边形，则，
设，则，
∴
，
∴
，
解得：
，
（舍去），
∴
，
综合可得M点的坐标为或．
（3）如图，作轴交直线于点G，
设，则，
∴
，
∴
，
∴当时，面积的最大值是，此时P点坐标为．
名校课堂系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，一个被等分成4个扇形的圆形转盘，其中3个扇形分别标有数字2，5，6，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘）．
（1）求当转动这个转盘，转盘自由停止后，指针指向没有标数字
的扇形的概率；
（2）请在4，7，8，9这4个数字中选出一个数字填写在没有标数字的扇形内，使得分别转动转盘2次，转盘自由停止后指针所指扇形的数字和分别为奇数与为偶数的概率相等，并说明理由．
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【题目】探究题：如图1，
和
均为等边三角形，点
在边
上，连接
．
（1）请你解答以下问题：
①求
的度数；
②写出线段
，
，之间数量关系，并说明理由．
（2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，
，点在边上，连接．请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题：如图3，在四边形
中，
，
，
，与
交于点
．若恰好平分
，请直接写出线段的长度．
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【题目】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（顶点是网格线的交点）
（1）先将△ABC竖直向上平移3个单位，再水平向右平移5个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕B1点逆时针旋转90°，得△A2B1C2，请画出△A2B1C2；
（3）线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为 ；
（4）经过A、C两点的函数解析式为 ．
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【题目】如图 1，直线 y=2x+2 分别交 x 轴、y 轴于点A、B，点C为x轴正半轴上的点，点 D从点C处出发，沿线段CB匀速运动至点 B 处停止，过点D作DE⊥BC，交x轴于点E，点 C′是点C关于直线DE的对称点，连接 EC′，若△ DEC′与△ BOC 的重叠部分面积为S，点D的运动时间为t（秒），S与 t 的函数图象如图 2 所示．
（1）VD ,C 坐标为 ；
（2）图2中，m= ，n= ，k= .
（3）求出S与t 之间的函数关系式（不必写自变量t的取值范围）.
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【题目】中考将近，同学们需要花更多的时间来进行自我反思和总结，消化白天的学习内容，提高学习效率．因此，每个班都在积极地进行自我调整．我校A班和B班的同学也积极响应号召，调查了本班的自习情况以供老师参考．
A班同学在班级抽样调查中，调查了十名同学的学习情况，将这十名同学在一周内每天用于自主复习的总时间四舍五入后，分别记录如下：（单位：分）
18 11 22 25 25 18 27 25 22 27
B班的同学采取的普查方式，让每位同学自己写出平均每天的自主复习时间，将数据收集整理后得到以下数据：
平均数 | 中位数 | 众数 | 极差 | 方差 |
22 | 23 | 30 | 30 | 59.7 |
B班的同学还将自主复习时间分为四大类：第一类为时间小于10分钟以下；第二类为时间大于或等于10分钟且小于20分钟；第三类为时间大于或等于20分钟且小于30分钟；第四类为时间大于或等于30分钟，并得到如下的扇形图．
（1）在扇形图中，第一类所对的圆心角度数为 ．
（2）写出A班被调查同学的以下特征数．
平均数 | 中位数 | 众数 | 极差 | 方差 |
22 | 25 | 16 |
（3）从上面的数据，我们可以得到 班的自主复习情况要好一些．其理由为（至少两条）： ．
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【题目】数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An．（n≥3，n是整数）处，那么线段AnA的长度为________（n≥3，n是整数）．
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