Question

6．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
（1）求证：△ACE≌△ABD；
（2）若AC=2，EC=4，DC=2$\sqrt{2}$，求∠ACD的度数；
（3）在（2）的条件下，直接写出DE的长为$2\sqrt{10}$．（只填结果，不用写计算过程）

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质可以得出∠EAC=∠DAB，再有AB=AC，AD=AE，根据SAS就可以得出结论；
（2）根据勾股定理可以求出BC的值为2$\sqrt{2}$，就可以得出BC=DC，在△BCD中由勾股定理的逆定理可以得出△BCD为等腰直角三角形，就可以得出∠BCD=90°，从而得出∠ACD的度数；
（3）由（2）可以知道∠CDB=45°，而∠ABC=45°，就可以得出△ABD是直角三角形，由勾股定理就可以求出AB的值，再由勾股定理就可以求出DE的值．

解答 解：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠EAC=∠BAD．
在△ACE和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAC=∠DAB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABD（SAS）；
（2）∵△ACE≌△ABD（SAS），
∴DB=EC=4，
在Rt△ABC中，AB²+AC²=BC²，
∴BC²=2²+2²=8，
在△DBC中，BC²+DC²=8+8=16=4²=BD²，
∴∠DCB=90°，
∴∠ACD=90°+45°=135°；
（3）∵BC²=8，DC²=8，
∴BC=DC．
∵∠DCB=90°，
∴∠DBC=45°．
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=90°．
在Rt△ABD中由勾股定理，得：
AD=$\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$．
在Rt△AED中由勾股定理，得：
ED=$\sqrt{20+20}=2\sqrt{10}$．
故答案为：$2\sqrt{10}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用及勾股定理的逆定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时灵活运用勾股定理及逆定理是解答本题的关键．