Question

20．如图，在同一直角坐标系中，一次函数y=$\sqrt{3}$x-2的图象和反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象的一个交点为A（$\sqrt{3}$，m）．
（1）求m的值及反比例函数的解析式．
（2）若点P在x轴上，且△AOP为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A（$\sqrt{3}$，m）代入一次函数的解析式，即可求得n的值，即A的坐标，然后把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得函数的解析式；
（2）分三种情况进行讨论：OA=OP时两个点（2，0），（-2，0），PA=PO时一个点（$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，0），AO=AP时一个点（2$\sqrt{3}$，0），求得P的坐标．

解答 解：（1）∵一次函数$y=\sqrt{3}x-2$的图象经过点A（$\sqrt{3}$，m），
∴$m=\sqrt{3}×\sqrt{3}-2=1$，
∴点A的坐标为（$\sqrt{3}$，1），
又∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点A，
∴$k=\sqrt{3}×1=\sqrt{3}$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{x}$；
（2）符合条件的点P有4个，分别是：P₁（-2，0），P₂（2，0），P₃（$2\sqrt{3}$，0），P₄（$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，0）．

点评 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，等腰三角形知识，要注意（2）在不确定等腰三角形的腰和底的情况下要考虑到所有的情况，不要漏解．