Question

20．如图，△ABC中，AB=AC，AE⊥BC于E，D为△ABC外-点，且∠ABD=∠ACD，BD交AC于O，AM⊥BD于M，连AD．
（1）求证：∠BDC=2∠BAE
（2）求证：∠DBC+△BCD=2∠ADB
（3）求：$\frac{BD-CD}{DM}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=2∠BAE，由∠ABD=∠ACD，于是得到A，B，C，D四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论
（2）由∠ABD=∠ACD，∠ABC=∠ACB，于是得到∠ACD+∠DBC=∠ABC=∠ACB，等量代换得到∠DBC+∠BCD=2∠ACB，根据圆周角定理得到∠ADB=∠ACB，即可得到结论；（3）在BD上截取BF=CD，证得△ABO∽△ACD，得到AF=AD，根据等腰三角形的性质得到DF=2DM，于是求得结果．

解答 解：（1）∵AB=AC，AE⊥BC于E，
∴∠BAC=2∠BAE，
∵∠ABD=∠ACD，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠BDC=∠BAC=2∠BAE；

（2）∵∠ABD=∠ACD，∠ABC=∠ACB，
∴∠ACD+∠DBC=∠ABC=∠ACB，
∴∠DBC+∠BCD=2∠ACB，
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠ADB=∠ACB，
∴∠DBC+∠BCD=2∠ADB；

（3）在BD上截取BF=CD，
在△ABO与△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABD=∠ACD}\\{BF=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABO∽△ACD，
∴AF=AD，∵AM⊥DF，
∴DF=2DM，
∴$\frac{BD-CD}{DM}$=$\frac{BD-BF}{DM}$=$\frac{2DM}{DM}$=2．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．