Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，O为△ABC的外心，I为△ABC的内心，求OI的长．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心,三角形的外接圆与外心

专题：

分析：作OD⊥AC于点D，IE⊥AC于点E，IF⊥BC于点F，交OD于点G．则四边形IECF是正方形，四边形IEDG是矩形．OD是△ABC的中位线，求得内切圆的半径，然后在直角△OGI中利用勾股定理即可求解．

解答：解：作OD⊥AC于点D，IE⊥AC于点E，IF⊥BC于点F，交OD于点G．
则四边形IECF是正方形，四边形IEDG是矩形．
则IE=CE=CF=IF=

3×4

3+4+5

=1，
∵O是外心，
∴OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=

1

2

BC=

1

2

×4=2，CD=

1

2

AC=

3

2

，
∴OG=2-1=1，GI=

3

2

-1=

1

2

．
在直角△OGI中，OI=

OG2+GI2

=

12+( 1 2 )2

=

5

2

．

点评：本题考查了三角形的内切圆，以及勾股定理，正确作出辅助线是关键．