Question

如图，⊙M与⊙N切于点P，经过点P的直线AB交⊙M于点A，交⊙N于点B，以经过⊙M直径AC所在直线为y轴，经过点B的直线为x轴建立平面直角坐标系，
（1）求证：OB是⊙N的切线；
（2）如果OC=CM=MA=1，圆N在始终保持与圆M外切，与x轴相切的情况下运动，设N点的坐标是（x，y），求y与x的函数的关系式．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）首先作辅助线：连接MN、NB，则MN过点P，即可得：∠MAP=∠MPA=∠NPM=∠NBP，则可证得：NB∥AO，又由A0⊥OB，证得：NB⊥OB，则问题得证；
（2）作ND⊥y轴，在Rt△MDN中，利用勾股定理即可求得y与x之间的函数关系式．

解答：（1）证明：连接MN、NB，则MN过点P，
∵MA=MN，MQ=NB，
∴∠MAP=∠MPA=∠NPM=∠NBP，
∴NB∥AO，
又A0⊥OB，
∴NB⊥OB．
又NB是半径，
∴OB是⊙N的切线．

（2）解：作ND⊥y轴，垂足为D．
则MD=|2-y|，ND=|x|，MN=|1+y|，
在Rt△MDN中，MD²+DN²=MN²，
∴|2-y|²+|x|²=|1+y|²，
∴y=

1

6

x²+

1

2

．

点评：此题考查了圆的性质，切线的判定以及勾股定理的运用等知识．此题综合性很强，图形也很复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的添加方法．