Question

如图，平面直角坐标系中，直线AB解析式为：y=-

3

3

x+

3

．直线与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）写出线段OA、OB的长度，OA=

 

，OB=

 

；
（2）若点C是AB的中点，过点C作CD⊥x轴于点D，E、F分别为BC、OD的中点，求点E的坐标；
（3）在第一象限内是否存在点P，使得以P、O、B为顶点的三角形与△OBA相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）令y=0求出x的值即可得到OA，令x=0求出y，即可得到OB；
（2）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出CD，再根据梯形的中位线等于两底和的一半求出EF，再求出OF，然后写出点E的坐标即可；
（3）根据直线解析式求出∠ABO=60°，再分①∠PBO=90°时，分∠POB=30°和60°两种情况求出PB，然后写出点P的坐标；②∠PBO=60°时，点P在直线AB上，写出直线OP的解析式，然后联立两直线解析式求解即可；③∠PBO=30°时，写出直线PB和直线OP的解析式，然后联立两直线解析式求解即可．

解答：解：（1）令y=0，则-

3

3

x+

3

=0，
解得x=3，
所以，OA=3，
令x=0，则y=

3

，
所以，OB=

3

；
故答案为：3，

3

；

（2）∵点C是AB的中点，CD⊥x轴于点D，
∴CD是△AOB的中位线，
∴CD=

1

2

OB=

3

2

，OD=

1

2

OA=

3

2

，
∵E、F分别为BC、OD的中点，
∴EF是梯形OBCD的中位线，
∴EF=

1

2

×（

3

2

+

3

）=

3 3

4

，
OF=

1

2

OD=

3

4

，
∴点E的坐标为（

3

4

，

3 3

4

）；

（3）∵直线AB的解析式为y=-

3

3

x+

3

，
∴∠ABO=60°，∠OAB=30°，
①∠PBO=90°时，若∠POB=30°，则BP=OB•tan30°=

3

×

3

3

=1，
若∠POB=60°，则BP=OB•tan60°=

3

×

3

=3，
所以，点P的坐标为（1，

3

）或（3，

3

）；
②∠PBO=60°时，点P在直线AB上，
此时，直线OP的解析式为y=

3

x，
联立

y=- 3 3 x+ 3 y= 3 x

，
解得

x= 3 4 y= 3 3 4

，
此时，点P的坐标为（

3

4

，

3 3

4

）；
③∠PBO=30°时，直线PB的解析式为y=-

3

x+

3

，
直线OP的解析式的解析式为y=

3

3

x，
联立

y=- 3 x+ 3 y= 3 3 x

，
解得

x= 3 4 y= 3 4

，
此时，点P的坐标为（

3

4

，

3

4

），
综上所述，在第一象限内存在点P（1，

3

）或（3，

3

）或（

3

4

，

3 3

4

）或（

3

4

，

3

4

）使以P、O、B为顶点的三角形与△OBA相似．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求解，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，梯形的中位线等于两底和的一半，相似三角形的性质，难点在于（3）根据相似三角形对应角相等分情况讨论．