Question

△ABC中，O是△ABC外角∠DAC平分线上任意一点，连接OB、OC．
（1）比较AB+AC与OB+OC的关系；
（2）当点O是（1）中△ABC的外角∠DAC的平分线的反向延长线AP上任意一点，连接OB，OC，画出图形，判断AB+AC与OB+OC之间的大小关系．

Answer 1

考点：角平分线的性质

专题：

分析：（1）在BA延长线上截取AD=AC，连接DO，由AO平分∠DAC，得到一对角相等，利用SAS得到△ADO≌△ACO，利用全等三角形对应边相等得到PC=PD，在三角形BOD中，根据三边关系得到OB+OD＞BD，等量代换即可得证；
（2）根据题意画出图形，在AC上截取AE=AB，连接OE，由AO平分∠BAC，得到一对角相等，利用SAS得到△ABO≌△AEO，利用全等三角形对应边相等得到BO=EO，在三角形OEC中，利用三角形三边关系得到OE+OC＞EC，等量代换即可得证．

解答：（1）证明：在BA延长线上截取AD=AC，连接DO，
∵AO平分∠DAC，
∴∠DAO=∠CAO，
在△ADO和△ACO中，

AD=AC ∠DAO=∠CAO AO=AO

∴△ADO≌△ACO（SAS），
∴PC=PD，
在△BOD中，OB+OD＞BD=AB+AD，
∴OB+OC＞AB+AC；

（2）解：如图所示：在AC上截取AE=AB，连接OE，
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAO=∠EAO，
在△ABO和△AEO中，

AB=AE ∠BAO=∠EAO AO=AO

，
∴△ABO≌△AEO（SAS），
∴BO=EO，
在△OEC中，OE+OC＞EC，即OB+OC＞EC=AC-AE=AC-AB．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．