Question

如图1，在直角坐标系中，正方形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴上，A点的坐标为（O，4）．
（1）则B的坐标为

 

；
（2）将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°，得正方形ODEF，边DE交BC于G，求G点坐标．
（3）如图2，⊙O₁与正方形ABCO四边都相切，直线MQ切⊙O₁于P，分别交y轴、x轴、线段BC于M、N、Q．求证：O₁N平分∠MO₁Q．
（4）延长BA至H，使AH=AB，在CA的延长线上任取一点T，经过A、H、T作⊙O2，过T作直径TS，连AS（图3），试问，T在运动过程中，AT-AS的值是否为定值？若是，定值为

 

；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据正方形四边相等的性质求B点到x轴，y轴的距离，即可求得B点坐标；
（2）连接OG，由题可知旋转角∠AOD、∠FOC的度数为30°，进而求出∠GOC的度数，再利用三角函数求出G点坐标；
（3）由切线长定理证得∠MO₁Q=90°，由切线长定理或其他方法证得∠NO₁Q=45°，O₁N平分∠MO₁Q；
（4）在AT上取点V，使TV=AS，构造出全等三角形△HTV≌△HSA，判断出△HAV为等腰直角三角形，求得AT-AS=AV=

2

为定值．

解答：解：（1）∵四边形OABC是正方形且A点的坐标为（O，4），
∴AB=BC=OA=4，
∴B点的坐标为（4，4）；

（2）连接OG，如图1
∵正方形OABC绕点O顺时针旋转30°得正方形ODEF，
∴∠AOD=30°，
∴∠DOC=60°，
在Rt△ODG和Rt△OCG中，

OD=OC OG=OG ∠D=∠OCG=90°

，
∴Rt△ODG≌Rt△OCG（HL），
∴∠DOG=∠COG，
∴∠COG=30°，
∵A点的坐标为（O，4），四边形OABC为正方形，
∴OC=OA=4，
∴CG=tan30°OC=

3

3

OC=

4 3

3

，
∴G点的坐标为（4，

4

3

3

）；


（3）证明：∵BQ∥AM，
∴∠BQM+∠AMQ=180°，
根据切线长定理，∠O₁QM+∠O₁MQ=180°×

1

2

=90°，
∴∠MO₁Q=180°-90°=90°，
由切线长定理∠NO₁Q=45°，
∴O₁N平分∠MO₁Q；

（4）如图2，在AT上取点V，使TV=AS，即AT-AS=AV，
∵TS是直径，
∴∠THS=∠TAS=90°，
∵AH=AB，
∴点H坐标为（-4、4），
又∵∠OAC=45°，
∴∠TAH=45°，
∵∠THS=∠TAS=90°，
∴∠TSH=45°，
∴HT=HS；
在△HTV≌△HSA，

HT=HS ∠HTV=∠HSA TV=AS

，
∴△HTV≌△HSA（SAS），
∴△HAV为等腰直角三角形，
∴AT-AS=AV=4

2

．
∴AT-AS的值为定值4

2

．

点评：本题考查了圆的综合题．难度在于（1）此题不仅要熟悉旋转角，还要知道旋转不变性，并联系特殊三角形用勾股定理解答；（2）运用切割线定理是解答此题的关键；（3）构造全等三角形，比作辅助线难度要大，但确是一种有效的解题方法．