Question

如图，在正△ABC中，D、E分别是BC、AC上一点，AE=CD，AD与BE交于点F，AF=

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BF．求证：CF⊥BE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,三角形的外角性质,等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：首先易得△ABE≌△CAD（SAS），得出∠1=∠6，BE=AD，∠AEB=∠ADC，然后取BF中点M，得到AF=BM，从而得出△AME≌△CFD（SAS），利用外角的性质，等腰三角形的性质，得到∠8与∠1+∠2的关系以及∠BAE与∠1+∠2的关系，利用∠BAE=60°，可得∠8的度数以及∠3的读数，从而得到∠BFC的读数，最后可得CF⊥BE．

解答：证明：取BF中点M，连接AM．
在△ABE和△CAD中，∠EAB=∠DCA=60°，AB=CA，

∠EAB=∠DCA=60° AB=CA AE=CD

，
∴△ABE≌△CAD（SAS）
∴∠1=∠6，BE=AD，∠AEB=∠ADC，
∵AF=

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BF，BM=

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BF，
∴AF=BM．
∵FD=AD-AF，ME=BE-BM，
∴FD=ME．
在△AME与△CFD中，

AE=CD ∠AEB=∠ADC ME=FD

，
∴△AME≌△CFD（SAS），
∴∠7=∠MAE=∠5+∠6，∠3=∠4，
∵AF=MF，
∴∠8=∠3+∠5=2（∠1+∠2），
而∠BAE=∠2+∠5+∠6=∠2+∠3+∠6=∠2+（∠1+∠2）+∠1=2（∠1+∠2），
∴∠8=∠9=60°，∠3=∠1+∠2=

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∠BAE=30°，
又∵∠9=∠8=60°，∠4=∠3=30°，
∴∠BFC=∠9+∠4=90°，
∴CF⊥BE．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰三角形的性质的应用，解题的关键在于作出相关辅助线，利用角的关系进行解答．