Question

如图1，是一个长方体盒子，长AB=4，宽BC=2，高CG=1．
（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，求它所行走的最短路线的长．
（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒长度的为多少？
解：（1）蚂蚁从点A爬到点G有三种可能，展开成平面图形如图2所示，由勾股定理计算出AG²的值分别为

 

、

 

、

 

，比较后得AG²最小为

 

．即最短路线的长是

 

．
（2）如图3，AG²=AC²+CG²=AB²+BC²+CG²=4²+2²+1²=21．

Answer 1

考点：平面展开-最短路径问题

专题：

分析：（1）蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后利用勾股定理求其对角线，比较大小即可求得最短的途径；
（2）根据勾股定理，知长方体盒子内能容下的最长木棒的平方等于长方体的长、宽、高的平方和．

解答：解：（1）蚂蚁从点A爬到点G有三种可能，展开成平面图形如图2所示，由勾股定理计算出AG²的值分别为（4+2）²+1²=37、4²+（1+2）²=25、2²+（4+1）²=29，比较后得AG²最小为25．即最短路线的长是5．

（2）如图3，AG²=AC²+CG²=AB²+BC²+CG²=4²+2²+1²=21．
故答案为37，25，29，5．

点评：本题考查了平面展开-最短路径问题及勾股定理的应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．注意：长方体中最长的对角线的平方等于长方体的长、宽、高的平方和．