Question

【题目】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标是，为抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，抛物线的对称轴是直线.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点在第二象限内，且，求的面积．

（3）在（2）的条件下，若为直线上一点，在轴的下方，是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

(1)由抛物线的对称性结合点A的坐标可得点，由此可设函数的表达式为：，继而根据点C的坐标即可求解；

(2)先求出BC的解析式，设点，则OD=-x，点，点，表示出PE的长，继而根据可得关于x的方程，解方程求得x的值后进而可求得PE、BD的长，然后利用三角形面积公式进行计算即可；

(3)根据题意，在x轴下方，是以为腰的等腰三角形，只存在：的情况，由此可得BM=BD=1，求出的值，继而设M的坐标为(xM，yM)，利用解直角三角形的知识即可求得，进而求出，由此即可得.

(1)点的坐标是，抛物线的对称轴是直线，则点，

所以设函数的表达式为：，

将点C(0，-2)代入得：，解得：，

故抛物线的表达式为：；

(2)设直线BC的解析式为y=mx+n，

将点(-4，0)、(0，-2)分别代入得，

解得：，

所以直线的表达式为：，

设点，则OD=-x，点，点，

∴PE=，

∵，

∴=，

解得：或x=-5(舍去)，

∴点，

∴PE=，BD=-4-(-5)=1，

∴；

(3)由题意得：在x轴下方，是以为腰的等腰三角形，只存在：的情况，

∴BM=BD=1，

∵(-4，0)、(0，-2)，

∴OB=4，OC=2，

∵∠BOC=90°，∴BC==，

∴ ，

设M的坐标为(xM，yM)，

则，

则，

故点.