Question

一个直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a、b的两个圆．
（1）求剩余部分的面积S；
（2）当S最大时，求a、b的关系，并求出最大值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）剩下钢板的面积等于大圆的面积减去两个小圆的面积，利用圆的面积公式列出关系式，化简即可．
（2）由于圆形钢板的直径是定值，设圆形钢板的直径为m，则S=

π

2

ab=

π

2

a（m-a）=-

π

2

（a-

m

2

）²+

πm2

8

，由此可以看出当a=

m

2

，即a=b时，S有最大值，最大值为圆形钢板面积

1

8

．

解答：解：（1）S_剩下=S_大圆-S_小圆1-S_小圆2
=π•（

a+b

2

）²-π•（

a

2

）²-π•（

b

2

）²
=

π[(a+b)2-a2-b2]

4

=

πab

2

；
所以剩下的钢板的面积是

πab

2

．

（2）∵圆形钢板直径是定值，
∴设圆形钢板的直径为m，
∴S=

π

2

ab=

π

2

a（m-a）=-

π

2

（a-

m

2

）²+

πm2

8

，
∴当a=

m

2

，即a=b时，S有最大值，最大值为圆形钢板面积

1

8

．

点评：此题考查的是圆的综合题，涉及的知识有：圆的面积公式，完全平方公式，去括号、合并同类项法则，以及函数的最值，熟练掌握公式、法则以及函数的性质是解本题的关键．