Question

1．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若$\frac{OC}{AC}$=$\frac{2}{3}$，且OC=4，求PA的长和tanD的值．

Answer 1

分析 （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，由$\frac{OC}{AC}$=$\frac{2}{3}$，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值；由AC=BC，AO=OE，可得OC是△ABE的中位线，进而可得BE∥OP，BE=2OC=8，进而可证△DBE∽△DPO，进而可得：$\frac{BD}{PD}=\frac{BE}{OP}$，从而求出BD的值，进而即可求出tanD的值．

解答 （1）证明：连接OB，则OA=OB，

∵OP⊥AB，
∴AC=BC，
∴OP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
在△PAO和△PBO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{PO=PO}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△PAO≌△PBO（SSS）
∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，
∵PB为⊙O的切线，B为切点，
∴∠PBO=90°，
∴∠PAO=90°，
即PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线；

（2）连接BE，

∵$\frac{OC}{AC}$=$\frac{2}{3}$，且OC=4，
∴AC=6，
∴AB=12，
在Rt△ACO中，
由勾股定理得：AO=$\sqrt{A{C}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴AE=2OA=4$\sqrt{13}$，OB=OA=2$\sqrt{13}$，
在Rt△APO中，
∵AC⊥OP，
∴AC²=OC•PC，
解得：PC=9，
∴OP=PC+OC=13，
在Rt△APO中，由勾股定理得：AP=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=3$\sqrt{13}$，
∴PB=PA=3$\sqrt{13}$，
∵AC=BC，OA=OE，
∴OC=$\frac{1}{2}$BE，OC∥BE，
∴BE=2OC=8，BE∥OP，
∴△DBE∽△DPO，
∴$\frac{BD}{PD}=\frac{BE}{OP}$，
即$\frac{BD}{3\sqrt{13}+BD}=\frac{8}{13}$，
解得：BD=$\frac{24\sqrt{13}}{5}$，
在Rt△OBD中，
tan∠D=$\frac{OB}{BD}$=$\frac{2\sqrt{13}}{\frac{24\sqrt{13}}{5}}$=$\frac{5}{12}$．
（补充方法：可以证明△DBE∽△DAB，可得$\frac{BD}{AD}$=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{OC}{AC}$=$\frac{2}{3}$，由此解决问题，可以简单一些）

点评 本题考查了切线的判定与性质以及相似三角形的判定和性质；能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．要证某线是圆的切线，对于切线的判定：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．