Question

9．如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．
（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）
（2）如果AM=1，sin∠DMF=$\frac{3}{5}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得∠A=∠B=∠C=90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得∠BPQ=∠AMP=∠DQC，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD；
（2）先证明MD=MQ，然后根据sin∠DMF=$\frac{DF}{MD}$=$\frac{3}{5}$，设DF=3x，MD=5x，表示出AP、BP、BQ，再根据△AMP∽△BPQ，列出比例式解方程求解即可．

解答 解：（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
根据折叠的性质可知：∠APM=∠EPM，∠EPQ=∠BPQ，
∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°，
∵∠APM+∠AMP=90°，
∴∠BPQ=∠AMP，
∴△AMP∽△BPQ，
同理：△BPQ∽△CQD，
根据相似的传递性，△AMP∽△CQD；

（2）∵AD∥BC，
∴∠DQC=∠MDQ，
根据折叠的性质可知：∠DQC=∠DQM，
∴∠MDQ=∠DQM，
∴MD=MQ，
∵AM=ME，BQ=EQ，
∴BQ=MQ-ME=MD-AM，
∵sin∠DMF=$\frac{DF}{MD}$=$\frac{3}{5}$，
∴设DF=3x，MD=5x，
∴BP=PA=PE=$\frac{3x}{2}$，BQ=5x-1，
∵△AMP∽△BPQ，
∴$\frac{AM}{BP}=\frac{AP}{BQ}$，
∴$\frac{1}{\frac{3x}{2}}=\frac{\frac{3x}{2}}{5x-1}$，
解得：x=$\frac{2}{9}$（舍）或x=2，
∴AB=6．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折的性质以及锐角三角函数的综合运用，在求AB长的问题中，关键是恰当的设出未知数表示出一对相似三角形的对应边列比例式．