Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒．

①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=；（2）①存在t=或t=，使得△ADC与△PQA相似；②当t=时，△APQ与△CAQ的面积之和最大.

【解析】（1）应用待定系数法求解析式

（2）①分别用t表示△ADC、△PQA各边，应用分类讨论相似三角形比例式，求t值；

②分别用t表示△APQ与△CAQ的面积之和，讨论最大值．

（1）∵OA=1，OB=4，

∴A（1，0），B（﹣4，0），

设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣1），

∵点C（0，﹣）在抛物线上，

∴﹣，

解得a=.

∴抛物线的解析式为y=.

（2）存在t，使得△ADC与△PQA相似．

理由：①在Rt△AOC中，OA=1，OC=，

则tan∠ACO=，

∵tan∠OAD=，

∴∠OAD=∠ACO，

∵直线l的解析式为y=，

∴D（0，﹣），

∵点C（0，﹣），

∴CD=，

由AC2=OC2+OA2，得AC=，

在△AQP中，AP=AB﹣PB=5﹣2t，AQ=t，

由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC与△PQA相似，

只需或，

则有或，

解得t1=，t2=，

∵t1＜2.5，t2＜2.5，

∴存在t=或t=，使得△ADC与△PQA相似；

②存在t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大，

理由：作PF⊥AQ于点F，CN⊥AQ于N，

在△APF中，PF=APsin∠PAF=，

在△AOD中，由AD2=OD2+OA2，得AD=，

在△ADC中，由S△ADC= ，

∴CN=，

∴S△AQP+S△AQC= ，

∴当t=时，△APQ与△CAQ的面积之和最大.